M2 Modélisation Aléatoire

Master en statistique, probabilités et finance - Université Paris 7 - Paris Diderot

 
 
 
 
 
 
Liste des cours Cours de base Calcul stochastique, modèle de diffusions
 
 

Calcul stochastique, modèle de diffusions

Cours: S. Péché
Compléments de cours: B. Laslier
Nombre de crédits: 6
Période: Trimestre 1
Volume horaire: 3 heures de cours et 3 heures de compléments de cours par semaine

La théorie des processus stochastiques intègre la dimension temporelle dans l’étude des phénomènes aléatoires. Ces processus sont bien adaptés pour modéliser l’évolution d’un système dynamique lorsque cette évolution ne peut être prévue avec certitude à partir de l’état initial du système et d’une équation d’évolution.

La nature offre une grande variété de tels phénomènes : taille de populations, particules enregistrées par un compteur, cours des actions, ...

Le cours commence par l’étude du Mouvement Brownien qui occupe une place centrale dans les processus aléatoires en raison du grand nombre de ses propriétés. Il se poursuivra avec une initiation au calcul stochastique qui s’est révélé depuis plusieurs années un outil remarquable dans l’étude des processus stochastiques. Il s’agit d’un calcul intégral et différentiel attaché au Mouvement Brownien. Enfin, le cours se terminera par l’étude des diffusions décrites par des équations différentielles stochastiques, qui modélisent bon nombre de phénomènes physiques : évolution perturbée par un bruit, évaluation d’actifs conditionnels, etc...

Programme :

  • Espaces gaussiens - Mouvement Brownien
  • Intégrale stochastique par rapport au Brownien
  • Calcul d'Ito
  • Martingales et théorème de Girsanov Modèles de diffusion
  • Résolution d'équations différentielles stochastiques
  • Propriété de Markov - Semi-groupe de transition
  • Exemples de modèles concrets : Brownien géométrique, processus d'Ornstein Uhlenbeck, diffusions gaussiennes...

Bibliographie :

  • CHUNG ET WILLIAMS Introduction to stochastic integration, Birkhaüser (1983).
  • I. KARATZAS, S. SHREEVE Brownian motion and stochastic calculus, Springer (1998)
  • B. OKSENDAL Stochastic differential Equations, Springer, Fifth Edition (1998)
  • D. REVUZ, M. YOR Continuous martingales and brownian motion, Springer, Third Edition (1999)