M2 Modélisation Aléatoire

Master en statistique, probabilités et finance - Université Paris 7 - Paris Diderot

 
 
 
 
 
 
Liste des cours Cours Gestion d'actifs Méthodes non linéaires en finance
 
 

Méthodes non linéaires en finance

Cours: M.C. Quenez
Période: Trimestre 3
Nombre de crédits: 6
Volume horaire: 3 heures de cours par semaine

Programme :

Ce cours vise à présenter la théorie des  backwards ainsi que leurs applications en finance. Les  backwards (appelées aussi  E.D.S. rétrogrades) sont des équations différentielles stochastiques pour lesquelles on fixe la condition terminale. 

Les outils introduits dans ce cours s'avèrent très utiles pour étudier les modèles de marchés avec imperfections, incluant, entre autres, le cas de contraintes de financement, le cas d'un ``large" investisseur (dont la stratégie a un impact sur les prix), le cas de marchés incomplets ou encore avec incertitude sur le modèle... Dans ce type de modèle, la dynamique de la richesse est non-linéaire, contrairement au cas classique. Le prix d'une option de payoff $\xi$ et de maturité $T$ correspond alors à la solution d'une backward (de type non-lin\'eaire) de condition terminale $\xi$, ce qui induit sur le marché un système de prix  non-linéaire par rapport au payoff. 

Les techniques des backwards sont également très utiles en contrôle stochastique, en particulier pour les problèmes d'optimisation de portefeuille, ainsi que pour l'étude des mesures de risque.

Plan du cours :

Introduction. Quelques propriétés utiles pour le cours (inégalités de martingales ...).

Existence et unicité de la solution d'une backward (non nécessairement linéaire)

Cas linéaire: propriété de  représentation et application au pricing d'options Européennes dans un marché parfait. 

Théorème de comparaison pour les backwards.

Backwards et optimisation.

Application au pricing non-linéaire d'options en marché imparfait. Exemples.

Cas markovien: liens entre backwards et EDP non-linéaires. 

Théorie de l'arrêt optimal et pricing d'options Américaines dans un marché parfait.

Caractérisation du prix via une  backward réfléchie linéaire.

Backward réfléchie non-linéaire: existence et unicité.

Liens avec un problème d'arrêt optimal non-linéaire

 Application au pricing d'options Américaines dans un marché imparfait.

Cas markovien: liens avec un problème (non-linéaire) avec obstacle.

Mesures dynamiques de risque induites par des backwards non-linéaires.

Backwards avec saut de défaut. Application au pricing non-linéaire dans un marché avec possibilité de défaut et contraintes de financement (cas des CVA par exemple).

 

Bibliographie :

 

Crépey, S (2015) Bilateral Counterparty Risk under Funding Constraints- Part II CVA.    Mathematical Finance,  25, 23-50.

 

Dumitrescu, R.,  Grigorova, M.,  Quenez M.C., Sulem A. (2018),  BSDEs with default jump, in  Computation and Combinatorics in Dynamics, Stochastics and  Control - Abel Symposium, August 2016}, E. Celledoni et al. (Eds) vol 13. Springer, p. 233--263, https://doi.org/10.1007/978-3-030-01593-0\_9,  available at https://hal.inria.fr/hal-01799335.

 

El Karoui N., Kapoudjian C.,  Pardoux E., Peng S. et M.C.Quenez (1997), Reflected solutions of Backward SDEs and related obstacle problems 

for PDEs, The Annals of Probability, 25,2, 702-737.

 

El Karoui N. et M.C. Quenez (1996), Non-linear Pricing Theory and Backward Stochastic Differential 

Equations,  Financial Mathematics,  Lectures Notes in Mathematics 1656, Bressanone, 1996, 

Editor:W.J.Runggaldier, collection Springer,1997.

 

Pham H.  (2007), Optimisation et contrôle stochastique appliqués à  la finance, Springer Chap.5.

 

Quenez M.C. (2010), Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) and Reflected BSDEs,  Encyclopedia of Quantitative Finance.