M2 Modélisation Aléatoire

Master en statistique, probabilités et finance - Université Paris 7 - Paris Diderot

 
 
 
 
 
 
Liste des cours Cours Probabilités et Analyse Systèmes de particules en interaction
 
 

Systèmes de particules en interaction

Cours:
C. Toninelli
Période: 
Trimestre 3
Nombre de crédits: 
6
Volume horaire
3 heures de cours par semaine


Cette partie du cours est une introduction aux systèmes de particules en interaction (IPS).

Les IPS ont été introduits par Spitzer dans les année 1960 pour étudier des modèles issus de la mécanique statistique. Le premiers IPS ont une mesure d’équilibre correspondant à la mesure de Gibbs classique pour des modèles presentant une transition de phase, tel que le modèle d’Ising. La classe de modèles a été vite agrandi pour étudier de phénomènes diverses issus de la physique, de la biologie ou de sciences sociales: la croissance des crystaux , la diffusion d’infections ou des feux de forets, la dynamique d’opinions, . . .
D’un point de vue mathématique il s’agit de systemes de particules sur réseaux qui évoluent selon un processus de Markov de temps continue. L’ enjeu principal est celui de déterminer le comportement de temps longue pour de systèmes avec un nombre infinie de particules avec des interactions locales, notamment caractériser les mesures invariantes et leur bassin d’attraction.

On analysera en détail deux modèles classiques: le modèle d’Ising stochastique et le processus de contact. Cela nous permettra d’introduire des outils tels que le trou spectral et les temps de mélanges. Ensuite on analysera le modèle East, qui fait partie de modèles dit à contraintes cinétiques (KCM). Ces modèles, introduits en physique pour étudier les dynamiques vitreuses, nécessitent d’outils adapté pour l’étude de leur comportement à temps longue. On terminera avec la description des plusieurs questions qui restent ouvertes dans l’étude des KCM.